力圖 ( Free-body diagram )

畫圖好累，我快累屎了 T_T 。

質量和重量 (Mass and Weight)

題目00006 :

在木星上 ( 重力為24.79 m/s^2 )，有一支筆，在木星質量20公克。有一個蘋果，在木星上重量6.4454 牛頓，摁~~ 把筆插進蘋果裡。請問在地球上 (重力為9.807 m/s^2 )，筆加上蘋果的重量是多少? 筆加上蘋果的質量是多少?

在火星上 ( 重力為3.711 m/s^2 )，把原來這支筆擦乾淨，摁~~ 把筆插進鳳梨裡。鳳梨在地球質量 1.500公斤，請問在月球上 (重力為1.622 m/s^2 )，筆加上鳳梨的重量是多少? 筆加上鳳梨的質量是多少?

<解法>

在物理學中，物體都有自己的質量 ( 這是內建的，本來就有的特質，到哪裡都一樣 )，是一個常數，「質量」指的是一個物體，要被改變速度大小和速度方向的困難程度。

( The mass of a body is a measure of its inertia, that is, its resistance to change velocity. )

在物理學中，物體的重量，指的是物體在重力場中所受到的重力。

( The weight of an object is the net gravitational force acting on it. )

所以題目說在木星的質量，其實就等於在地球、在月球、在隨便哪一個地方的質量。但是重量就會隨重力場而改變 ( 就是 w = mg 這樣)

如果用 SI 單位 ( 法語，Système International d'Unités ，就是長度用公尺，重量用公斤，時間用秒 ) 來計算 :

不管在哪裡，質量都是不變的:

鉛筆質量 0.020 公斤

蘋果質量 0.260 公斤 ( w = mg，m = w/g，所以 6.4454 /24.79 = 0.260公斤 )

鳳梨質量 1.500 公斤

在地球上:

鉛筆重量約 0.196 牛頓

蘋果重量約 2.548 牛頓

鳳梨重量約 14.70 牛頓

在月球上:

鉛筆重量約 0.032 牛頓

蘋果重量約 0.422 牛頓

鳳梨重量約 2.433 牛頓

在火星上:

鉛筆重量約 0.074 牛頓

蘋果重量約 0.965 牛頓

鳳梨重量約 5.567 牛頓

在木星上:

鉛筆重量約 0.496 牛頓

蘋果重量約 6.445 牛頓

鳳梨重量約 37.19 牛頓

所以，

在地球上，筆加上蘋果的重量是 0.196 + 2.548 = 2.744 牛頓

在地球上，筆加上蘋果的質量是 0.020 + 0.260 = 0.280 公斤

在月球上，筆加上鳳梨的重量是 0.032 + 2.433 = 2.465 牛頓

在月球上，筆加上鳳梨的質量是 0.020 + 1.500 = 1.520 公斤

原來筆、蘋果和鳳梨這麼輕，難怪日本大叔動作如此輕盈。

Pen Pineapple Apple Pen ~

終端速度(Terminal Speed)

題目00005:

Elsa 因為 Anna 要跟第一次見面的人結婚，情緒激動下，不小心開始大噴雪，導致艾倫戴爾 (Arendelle) 被冰封。一顆顆雪花從天空飄下來，其中一顆小球型雪花落在樂

佩 ( Rapunzel ) 頭上，護花使者尤金‧費茲柏特（Eugene Fitzherbert），見狀輕輕的拍掉樂佩頭上的雪花。假設雪花重量 0.0000002 kg ，直徑 0.5 mm ，請問，樂佩對這顆雪花有甚麼感覺嗎? 這顆雪花的終端速度為何?今天沒風。天空中也沒有上升氣流。



<解法>


假設今天沒風，天空中也沒有上升氣流。所以可能就是層流(larminal flow)系統。那顆雪花在空氣中感受到的摩擦力(向上)，正抵抗著重力吸引力(向下)，所以

又

其中γ與雪花半徑相關，以實驗量測大約空氣的 γ 是 (0.212 ± 0.049) (Ns2/m4)


且


達終端速度時，(1)等號右邊為 0。


所以

γvT = mg


得終端速度 vT =0.0000002Ⅹ9.8/ (0.212+0.049) = 0.00000751 m/s


另外，樂佩覺得有 0.0000002Ⅹ9.8 = 0.00000196 N 的外力打到她。樂佩應該對雪花應該是沒甚麼感覺，但是對尤金應該是有好感。





【愛心小提醒 :

產生雪晶的雲層溫度必須在4-14 °F，晶體長大到足以穿過雲層下的氣流時，大約以3000 m/s 飄然落下。如果地面附近溫度低於 32 °F ，就下雪(反之就下雨)。

如果雲層下方有上升氣流盤旋，雪晶會在氣流中上上下下的跟旁邊的雪晶黏成越來越大顆的冰塊，最後以冰雹的形式落下。


攝氏(C): 定水的冰點0度, 沸點100度, 期間分成100度


攝氏(F): 定水的冰點32度, 沸點212度, 期間分成180度


絕對溫度(K): 定水的冰點273度, 沸點373度

所以可以用以下的關係

C-100 / 100-0 = F-32 / 212-32 = K-273/ 373-273

也可以用這種比例方式換算

C =F－ 32×5/9

F= 9/5 C＋ 32

雪花落在水面上的聲音，頻率是 50-200 kHz，對人類 ( 耳朵是聽到20- 20000 Hz，嘴巴是說出 300-5000 Hz ) 和潛水艇來說，頻率太高，聽不到，靜悄悄。但是對海豚來說，據說震耳欲聾，用人類的感覺來比喻像一次又一次的緊急煞車聲，於是造成許多水下生物心煩。這種噪音也會干擾漁業與海洋生物的跟蹤監測器，例如對大馬哈魚的洄游數量監測就很干擾，觀測人員必須在大雪時關掉跟蹤監視器。

高於20000 Hz 的聲音叫超音波，低於 20 Hz 的頻率叫次聲波。次聲波人類聽不到，但是會使人煩躁不安、沮喪、頭暈目眩、嘔吐、精神錯亂、癲癇、四肢麻木， 高強度的 7 Hz 的聲音發射器能使 5km 外的 30名居明頃刻死亡( 所以我們找到臟器的共振頻率了! )，這件事是法國人做的，所以我說科技倫理你是怎麼念的~~(該不會這就是海盜和水手們口耳相傳的美人魚聲音? 魯夫，你怎麼看? )。

降雪有可能會對農業有利，比如中國就有「瑞雪兆豐年」之說。可能是積雪可以成為隔熱層，保持土壤的熱量，使得農作物不被低於冰點的天氣傷害。雪融下去的水留在土壤里，給莊稼積蓄了很多水，對春耕播種以及莊稼的生長發育都很有利。雪中含有很多氮化物，在融雪時被融雪水帶到土壤中，成為最好的肥料。雪還能消滅害蟲，減少蟲害的發生。 】

向量計算練習

題目00004:

最近又開始懷念魔獸世界的遊戲。
請讓我任性的緬懷一下吧  Q_Q

索爾與凱爾薩斯恰好在奧格瑪前相遇（我也不知道為什麼會這麼巧），他倆脫到只剩內褲，相約比賽賽跑、游泳和投石車操作（你知道的，穿上褲子或衣服，各種技能數值就會增加，因為遊戲設計關係，單純個人能力競賽只能穿內褲了）。起跑點在北方，終點在正南方 1500 km 處。起跑前選手凱爾薩斯正在揮手，他顯得英姿颯爽，宛若風中一朵美麗嬌貴的玫瑰花；不少現場觀戰女性，因為凱爾薩斯的美麗已經昏倒。

第一場賽跑比賽，索爾跑速是 900 km/hr，凱爾薩斯跑速是 1000 km/hr，，但索爾跑到終點獲勝，凱爾薩斯雙手插腰抗議比賽有風是不公平的。原來索爾和凱爾薩斯一衝出去，凱爾薩斯就一路被風吹著跑偏了 15 度。凱爾薩斯一抗議，昏倒的女性紛紛原地站起來抗議比賽不公正 : 「颳颱風也讓阿強（凱爾薩斯小名）比賽跑，還讓不讓人活呀？」。請問這陣風風速多大，風怎麼吹？

接著比賽游泳。河水以固定速度  v  由西往東流，索爾和凱爾薩斯游速相同，都是 k  (k > v)。他倆約好游固定距離 L 然後返回出發點。索爾一跳下水就順水游，再逆水而上游回來（後來這件事情激勵人心，部落人人看著索爾逆水游泳，心中油然而生一股不屈不撓的精神）。凱爾薩斯跳下水後就往對岸瘋狂對他尖叫的粉絲游去，游了L 距離，回頭游向出發點。請問誰贏了游泳比賽？

投石車操作比賽是由哥布林所設計製作的最高品質投石車設計。一個完美的 70 度斜坡上，距離斜坡底部 400 m，貼了一個哥布林小拇指頭大小的聯盟瓦里安國王小名牌。打中名牌的人就算贏。投石車距離投石車 50 m。投石車放在凹洞中，石頭每次都從地面投出，投石速度 181.4 m/s。索爾跑來跑去看完決定以從地平面往上 30 度射出，凱爾薩斯送出許多飛吻後決定以從地平面往上 45 度射出，請問誰贏了?


<解法>

恭喜部落酋長索爾完勝!!

【愛心小提醒：使用工程計算機獲取三角函數值的時候，可以先試試看 tan45°=1 或 sin30°=0.5 來確認輸入計算機的數值是角度量或徑度量。鼻要按錯喔~】

位置(Position)、速度(velocity)和加速度(acceleration)的關係和計算

題目00003:

有一個不明飛行物體，被研究員觀測到它的速度 v = [ a t + b sin (10t) ] i + c j (以粗體字表示向量)，研究員假設此不明飛行物體再被他看見的瞬間為 t == 0，此時的位置是 xy 平面的原點(其實就是在研究員右腳旁邊一點點的地方)，那麼，請問這個不明飛行物會回到研究員的腳邊嗎? 甚麼時候這個不明飛行物會停下來呢? 這個不明飛行物體會怎麼加速呢?  (這個研究員好怕啊~)

另外，還有以下資訊:
a = 10 m/s.s
b = 20 m/s
c = 15 m/s

<解法>

這個不明飛行物會回到研究員的腳邊嗎? 這要看它的位置。
 r 是 (v.dt) 的積分，
所以 r = [ 0.5 a.t.t - (0.1).b.t cos (10t) ]i +c.t j
在 t = 0 時， r = 0
其他時間不明飛行物體都不會回來了，至少有 ctj 這一項讓它回不來。


甚麼時候這個不明飛行物會停下來呢?
v = 0 的時候，
v 一直都有，顫抖吧，研究員，你只能害怕了!!


這個不明飛行物體會怎麼加速呢?
a = dv/dt
a = [ a - (10)b cos (10t)]i

所以研究員，你可以往 -j 或 +k 或 -k 方向去避難，塊陶啊!

平均速率(average speed)、平均速度 (average velocity)、瞬時速度 (instantaneous speed)

題目00002:

有一位鳥類觀察員觀察了一隻調皮的烏鴉 (Clow) 飛行後，做了以下的紀錄，也就是一張精美的『位置---時間關係圖』。

先別管烏鴉為什麼這樣飛，請幫忙鳥類觀察員算出烏鴉起點和終點的平均速率 (average speed)、平均速度 (average velocity)和瞬時速度 (instantaneous velocity)!!!

<解法>

平均速率 (average speed)，定義為，(移動的距離) / (花費的時間)，

所以

移動的距離 == 12 m + 4 m + 6 m + 18 m + 4 m == 44 m
花費的時間 == 11 sec

平均速率 (average speed) == 44 m /11 s == 4 m/s  (鳥類觀察員給你答案囉~)

平均速度 (average velocity) == (末位置 - 初位置) / (末時間 - 初時間) == 0 m/s (自己看圖)

瞬時速度 (instantaneous velocity) == dx/dt == 一個微分的概念 == 該位置該時間點的斜率 (禪定吧)

【愛心小提醒 : 1. 這三個名詞要弄對喔 2. 圖上的點可以讀也可能拿來做表格。稍息以後不敬禮解散，稍息!】

單位分析、量綱分析

題目00001:

波長乘上頻率等於波的移動速度。

請以單位分析 (或叫做量綱分析) 的角度，去檢查看看這個式子的單位有沒有問題。


<解法>

單位換算只有三個物理量要討論，

即

時間 T、質量 M 和 距離 L。



以 「物理量+中括號」 表示單位(或稱作量綱)，

即

[ x ] == L

[ m ] == M

[ t ] == T 。

本題 v==fλ的單位，可以寫成 :

[ v ]  ==  L/T

[ f ] == 1/T

[λ]== L

所以 [ fλ ] == L/T ==[ v ]

等號兩邊單位相同。沒有發生錯亂。請諸君安心。已經沒事，洗洗睡了。

【愛心小提醒 : 單位分析常常是題目寫完後，算一算自己有沒有算到後來算錯的小工具，請大家愛用喔，啾咪~ 】